MATEMATICAS

(maria fernanda urueña)

FUNCIÓN LOGARÍTMICA (maria fernanda urueña tavera)

El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base  b  para obtener  a  y.   Esto es,  si  b > 0  y   b  es  diferente  de  cero,   entonces

log_b y = x  si y sólo si  y = b^x.

Nota:  La notación log_b y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.

Ejemplos:

1)  ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25?  Al exponente 2, ya que 5² = 25.  Decimos que “el logaritmo  de 25 en la base 5 es 2”.   Simbólicamente lo expresamos de la forma log₅ 25 = 2.   De  manera que,  log₅ 25 = 2  es  equivalente a  5² = 25.  (Observa que un logaritmo es un exponente.)

2)  También podemos decir que 2³ = 8 es equivalente a log₂ 8 = 3.

Nota:  El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales.   De manera que, log₁₀ 3  está definido, pero el log₁₀ 0 y  log₁₀ (-5) no lo están.  Esto es, 3 es un valor del dominio logarítmico, pero 0 y -5 no lo son. 

FUNCIÓN EXPONENCIAL (maria fernanda urueña tavera)

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. Potencias de exponente natural: an = veces . . .... n a n a a a ∈ N Potencias de exponente nulo: a 0 = 1 ( a ≠ 0 ) Potencias de exponente entero negativo: a-n = n a 1 n ∈ N , ( a ≠ 0 ) Potencias de exponente fraccionario: a m/n = n ma m ∈ Z , n ∈ N y conocemos sus propiedades básicas: an . am = a n+m (an ) m = an.m n , m ∈ Q Es posible dar sentido a expresiones tales como 2π , 2 3 y estimar su valor a partir de una aproximación del exponente irracional. Las propiedades antes mencionadas se extienden para el caso en que n y m son números reales cualesquiera. Con esto, podemos definir la función exponencial. Dado a > 0 , llamamos función exponencial de base a a la función f : R → R definida por f (x) = ax . Su comportamiento es muy distinto según sea a > 1 , a < 1 , a = 1. Ejemplo: Analizar la gráfica de la función exponencial de acuerdo al valor de a. a) Si a > 1 , por ejemplo y = 2x En este caso la función es creciente. b) Si 0 < a < 1 , por ejemplo y = x       2 1 Aquí la función es decreciente. La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones.


CUMPLEAÑOS PROFESOR GUSTAVO (daniela trujillo)